História interativa·6 min de leitura

O atrator de Lorenz e o efeito borboleta

A forma atrás destas palavras não é um vídeo. É um universo minúsculo calculado ao vivo no seu navegador, e ele vai acompanhar esta história enquanto você rola a página.

Role para começar

Capítulo 1

O que é o atrator de Lorenz?

O atrator de Lorenz é a forma traçada pelo sistema de Lorenz: três equações diferenciais acopladas que o meteorologista Edward Lorenz publicou em 1963 como um modelo simplificado do ar aquecido por baixo. Com os valores clássicos $\sigma = 10$ , $\rho = 28$ e $\beta = 8/3$ , toda trajetória é puxada para uma região em forma de borboleta e gira em torno das suas duas asas para sempre, sem nunca se repetir e sem nunca parar. É o atrator estranho mais conhecido e a imagem por trás do "efeito borboleta".

Estas são as três equações, exatamente como a cena atrás deste texto as calcula:

\begin{aligned} \dot{x} &= \sigma\,(y - x) \\ \dot{y} &= x\,(\rho - z) - y \\ \dot{z} &= x\,y - \beta\,z \end{aligned}

Para que serve?

É o primeiro exemplo clássico de caos. Físicos e matemáticos o usam para explicar por que o tempo não pode ser previsto com semanas de antecedência, para testar métodos numéricos e de previsão, e como sistema de referência em pesquisas sobre caos sincronizado e assimilação de dados.

Capítulo 2

O clima, reduzido a três números

Em 1963, o meteorologista Edward Lorenz jogou fora quase tudo o que chamamos de clima. Sem nuvens, sem mapas de vento, sem litorais. O que sobreviveu é um universo de apenas três números ligados por três regras simples: a velocidade com que o ar se agita, a diferença de temperatura e como o calor escapa.

O que você está vendo é esse universo inteiro evoluindo em tempo real. Cada curva de luz é o "clima" passando de um estado para o próximo.

Capítulo 3

Duas tempestades, separadas por um fio

Uma segunda trajetória acabou de aparecer. A tempestade azul começa a 0,0008 da laranja. Mesmas regras, mesmas equações, tudo igual, exceto essa vantagem microscópica.

Observe as duas por um momento. Elas concordam, seguem uma à outra como sombras e então, sem aviso, se traem completamente. Lorenz descobriu isso por acidente: redigitou um número de uma listagem impressa, arredondado para três casas decimais, e a simulação inventou um futuro diferente.

Capítulo 4

Aumente o calor

O sistema que você está vendo acabou de mudar. Um único número se moveu: o parâmetro de aquecimento $\rho$ subiu de 28 para 47. Mesmas leis, mais energia.

Um único ajuste, e toda a personalidade do universo muda. É isso que significa a sensibilidade: em um sistema caótico, causas pequenas não permanecem pequenas por muito tempo.

Capítulo 5

Olhe mais de perto

Aproximamos a imagem. Repare em duas coisas que parecem impossíveis juntas. O caminho nunca se repete, jamais, e mesmo assim nunca sai desta região em forma de borboleta. Ele é infinitamente longo, desenhado dentro de uma caixa finita, e nunca cruza o próprio rastro.

Um objeto assim se chama atrator estranho. "Atrator" porque as trajetórias caem nele vindas de quase qualquer lugar. "Estranho" porque, de perto, não é uma superfície, mas um mil-folhas infinitamente fino de camadas: um fractal.

Capítulo 6

Determinístico não significa previsível

Cada ponto deste caminho foi calculado a partir de regras exatas, com zero aleatoriedade. Dado o hoje, o amanhã está completamente determinado. E ainda assim, depois de pouco tempo, nenhum computador na Terra consegue dizer onde a trajetória estará, porque nenhuma medição do "hoje" é infinitamente precisa.

Essa lacuna entre duas palavras que costumamos tratar como sinônimos, determinístico e previsível, é uma das descobertas mais profundas do século XX. É por isso que a previsão do tempo é excelente no dia 2, razoável no dia 5 e folclore no dia 15.

Capítulo 7

Perguntas sobre o atrator de Lorenz

O que é o atrator de Lorenz, em palavras simples?

É a forma para a qual convergem as trajetórias do sistema de Lorenz: uma borboleta de duas asas em torno da qual um ponto gira para sempre sem se repetir. Mostra como três regras simples e exatas podem produzir um movimento que parece aleatório.

Quais são as equações de Lorenz?

dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y e dz/dt = xy − βz. Lorenz usou σ = 10, ρ = 28 e β = 8/3, os valores que produzem a borboleta.

Por que se chama efeito borboleta?

Duas trajetórias que começam quase juntas terminam muito distantes, então uma diferença mínima hoje decide o estado mais adiante. O nome vem de uma palestra de Lorenz de 1972 intitulada "Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?" (o bater de asas de uma borboleta no Brasil provoca um tornado no Texas?), e o próprio atrator parece um par de asas.

O sistema de Lorenz é aleatório?

Não. As equações não têm nada de acaso: o mesmo ponto de partida sempre dá o mesmo caminho. Ele é imprevisível na prática porque qualquer erro de medição, por menor que seja, cresce de forma quase exponencial até dominar tudo.

Para que serve o atrator de Lorenz?

Nasceu como um modelo de convecção na atmosfera. Hoje é o exemplo clássico para ensinar caos, um caso de teste para métodos numéricos e de previsão, e um sistema de referência em pesquisas sobre caos sincronizado e assimilação de dados.

Fonte: Lorenz, E. N. (1963). Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130-141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

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