Interaktive Geschichte·6 Min. Lesezeit

Der Lorenz-Attraktor und der Schmetterlingseffekt

Die Form hinter diesen Worten ist kein Video. Es ist ein winziges Universum, das live in deinem Browser berechnet wird, und es folgt dieser Geschichte, während du scrollst.

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Kapitel 1

Was ist der Lorenz-Attraktor?

Der Lorenz-Attraktor ist die Form, die das Lorenz-System zeichnet: drei gekoppelte Differentialgleichungen, die der Meteorologe Edward Lorenz 1963 als stark vereinfachtes Modell von Luft veröffentlichte, die von unten erwärmt wird. Mit den klassischen Werten $\sigma = 10$ , $\rho = 28$ und $\beta = 8/3$ wird jede Bahn in einen schmetterlingsförmigen Bereich gezogen und umkreist dessen zwei Flügel für immer, ohne sich je zu wiederholen und ohne zur Ruhe zu kommen. Er ist der bekannteste seltsame Attraktor und das Bild hinter dem „Schmetterlingseffekt“.

Das sind die drei Gleichungen, genau so, wie die Szene hinter diesem Text sie berechnet:

\begin{aligned} \dot{x} &= \sigma\,(y - x) \\ \dot{y} &= x\,(\rho - z) - y \\ \dot{z} &= x\,y - \beta\,z \end{aligned}

Wofür ist er gut?

Er ist das klassische erste Beispiel für Chaos. Physiker und Mathematiker nutzen ihn, um zu erklären, warum sich das Wetter nicht wochenlang im Voraus vorhersagen lässt, um numerische Löser und Prognoseverfahren zu testen, und als Referenzsystem in der Forschung zu synchronisiertem Chaos und Datenassimilation.

Kapitel 2

Das Wetter, reduziert auf drei Zahlen

1963 warf der Meteorologe Edward Lorenz fast alles weg, was wir Wetter nennen. Keine Wolken, keine Windkarten, keine Küsten. Übrig blieb ein Universum aus nur drei Zahlen, verbunden durch drei einfache Regeln: wie schnell sich die Luft durchmischt, wie groß die Temperaturunterschiede darin sind und wie die Wärme entweicht.

Was du siehst, ist dieses gesamte Universum, wie es sich in Echtzeit entwickelt. Jede Lichtkurve ist das „Wetter“ auf dem Weg von einem Zustand zum nächsten.

Kapitel 3

Zwei Stürme, um Haaresbreite getrennt

Gerade ist eine zweite Bahn erschienen. Der blaue Sturm startet mit einem Abstand von 0,0008 zum orangefarbenen. Gleiche Regeln, gleiche Gleichungen, alles identisch, bis auf diesen mikroskopischen Vorsprung.

Beobachte sie einen Moment. Sie stimmen überein, folgen einander wie Schatten, und dann, ohne Vorwarnung, verraten sie einander vollständig. Lorenz entdeckte das durch Zufall: Er tippte eine Zahl von einem auf drei Dezimalstellen gerundeten Ausdruck neu ein, und seine Simulation erfand eine andere Zukunft.

Kapitel 4

Dreh die Heizung auf

Das System, das du gerade siehst, hat sich verändert. Eine einzige Zahl hat sich bewegt: Der Heizparameter $\rho$ stieg von 28 auf 47. Gleiche Gesetze, mehr Energie.

Ein einziger Regler, und die ganze Persönlichkeit des Universums ändert sich. Das bedeutet Sensitivität: In einem chaotischen System bleiben kleine Ursachen nicht lange klein.

Kapitel 5

Sieh genauer hin

Wir haben herangezoomt. Beachte zwei Dinge, die zusammen unmöglich wirken. Der Pfad wiederholt sich nie, niemals, und doch verlässt er nie diese schmetterlingsförmige Region. Er ist unendlich lang, gezeichnet in einem endlichen Bereich, und kreuzt nie seine eigene Spur.

Ein solches Objekt heißt seltsamer Attraktor. „Attraktor“, weil Bahnen von fast überall hineinfallen. „Seltsam“, weil er aus der Nähe keine Fläche ist, sondern ein unendlich feiner Blätterteig aus Schichten: ein Fraktal.

Kapitel 6

Deterministisch heißt nicht vorhersagbar

Jeder Punkt dieses Pfads wurde aus exakten Regeln berechnet, ohne jeden Zufall. Ist das Heute gegeben, ist das Morgen vollständig bestimmt. Und doch kann dir nach kurzer Zeit kein Computer der Welt sagen, wo die Bahn sein wird, denn keine Messung des „Heute“ ist unendlich präzise.

Diese Lücke zwischen zwei Wörtern, die wir sonst als Synonyme behandeln, deterministisch und vorhersagbar, ist eine der tiefsten Entdeckungen des 20. Jahrhunderts. Deshalb sind Wettervorhersagen exzellent an Tag 2, brauchbar an Tag 5 und Folklore an Tag 15.

Kapitel 7

Fragen zum Lorenz-Attraktor

Was ist der Lorenz-Attraktor, einfach erklärt?

Es ist die Form, in die die Bahnen des Lorenz-Systems hineinlaufen: ein Schmetterling mit zwei Flügeln, um den ein Punkt für immer kreist, ohne sich zu wiederholen. Er zeigt, wie drei einfache, exakte Regeln eine Bewegung erzeugen können, die zufällig wirkt.

Wie lauten die Lorenz-Gleichungen?

dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y und dz/dt = xy − βz. Lorenz verwendete σ = 10, ρ = 28 und β = 8/3, die Werte, die den Schmetterling erzeugen.

Warum heißt es Schmetterlingseffekt?

Zwei Bahnen, die fast gemeinsam starten, enden weit voneinander entfernt: Eine winzige Abweichung heute entscheidet über den späteren Zustand. Der Name stammt aus einem Vortrag von Lorenz aus dem Jahr 1972 mit dem Titel „Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?“ (Löst der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas aus?), und der Attraktor selbst sieht aus wie ein Paar Flügel.

Ist das Lorenz-System zufällig?

Nein. Die Gleichungen enthalten keinerlei Zufall: Derselbe Startpunkt ergibt immer dieselbe Bahn. Unvorhersagbar ist es in der Praxis, weil jeder Messfehler, so klein er auch ist, ungefähr exponentiell wächst, bis er alles überlagert.

Wofür wird der Lorenz-Attraktor verwendet?

Er entstand als Modell der Konvektion in der Atmosphäre. Heute ist er das klassische Lehrbeispiel für Chaos, ein Testfall für numerische Löser und Prognoseverfahren und ein Referenzsystem in der Forschung zu synchronisiertem Chaos und Datenassimilation.

Quelle: Lorenz, E. N. (1963). Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130-141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

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