Historia interactiva·6 min de lectura

El atractor de Lorenz y el efecto mariposa

La forma detrás de estas palabras no es un video. Es un universo diminuto calculado en vivo en tu navegador, y seguirá esta historia mientras te desplazas.

Desplázate para empezar

Capítulo 1

¿Qué es el atractor de Lorenz?

El atractor de Lorenz es la figura que traza el sistema de Lorenz: tres ecuaciones diferenciales acopladas que el meteorólogo Edward Lorenz publicó en 1963 como un modelo simplificado del aire calentado desde abajo. Con los valores clásicos $\sigma = 10$ , $\rho = 28$ y $\beta = 8/3$ , toda trayectoria cae en una región con forma de mariposa y da vueltas alrededor de sus dos alas para siempre, sin repetirse nunca y sin detenerse. Es el atractor extraño más conocido y la imagen detrás del "efecto mariposa".

Estas son las tres ecuaciones, tal como las calcula la escena detrás de este texto:

\begin{aligned} \dot{x} &= \sigma\,(y - x) \\ \dot{y} &= x\,(\rho - z) - y \\ \dot{z} &= x\,y - \beta\,z \end{aligned}

¿Para qué sirve?

Es el primer ejemplo clásico de caos. Físicos y matemáticos lo usan para explicar por qué el clima no se puede pronosticar con semanas de anticipación, para probar métodos numéricos y de pronóstico, y como sistema de referencia en la investigación sobre caos sincronizado y asimilación de datos.

Capítulo 2

El clima, reducido a tres números

En 1963, el meteorólogo Edward Lorenz tiró casi todo lo que llamamos clima. Sin nubes, sin mapas de viento, sin costas. Lo que sobrevivió es un universo de solo tres números unidos por tres reglas simples: qué tan rápido se agita el aire, cuánto difiere la temperatura y cómo escapa el calor.

Lo que estás viendo es ese universo entero evolucionando en tiempo real. Cada curva de luz es el "clima" pasando de un estado al siguiente.

Capítulo 3

Dos tormentas, separadas por un pelo

Acaba de aparecer una segunda trayectoria. La tormenta azul empieza a 0.0008 de la naranja. Mismas reglas, mismas ecuaciones, todo igual, salvo esa diferencia microscópica de partida.

Míralas un momento. Coinciden, se siguen como sombras y luego, sin aviso, se traicionan por completo. Lorenz lo descubrió por accidente: volvió a introducir un número tomado de una copia impresa, redondeado a tres decimales, y su simulación inventó un futuro distinto.

Capítulo 4

Sube el calor

El sistema que estás viendo acaba de cambiar. Se movió un solo número: el parámetro de calentamiento $\rho$ subió de 28 a 47. Mismas leyes, más energía.

Un solo dial, y toda la personalidad del universo cambia. Eso es lo que significa la sensibilidad: en un sistema caótico, las causas pequeñas no siguen siendo pequeñas mucho tiempo.

Capítulo 5

Mira de cerca

Hicimos zoom. Fíjate en dos cosas que parecen imposibles a la vez. El camino nunca se repite, jamás, y sin embargo nunca sale de esta región con forma de mariposa. Es infinitamente largo, dibujado dentro de una caja finita, y nunca cruza su propio rastro.

Un objeto así se llama atractor extraño. "Atractor" porque las trayectorias caen en él desde casi cualquier lugar. "Extraño" porque de cerca no es una superficie sino un milhojas infinitamente fino de capas: un fractal.

Capítulo 6

Determinista no significa predecible

Cada punto de este camino se calculó con reglas exactas y cero aleatoriedad. Dado el hoy, el mañana está completamente determinado. Y sin embargo, al poco tiempo, ninguna computadora del mundo puede decirte dónde estará la trayectoria, porque ninguna medición del "hoy" es infinitamente precisa.

Esa brecha entre dos palabras que solemos tratar como sinónimos, determinista y predecible, es uno de los descubrimientos más profundos del siglo XX. Por eso los pronósticos del clima son excelentes al día 2, decentes al día 5 y folclore al día 15.

Capítulo 7

Preguntas sobre el atractor de Lorenz

¿Qué es el atractor de Lorenz, en palabras simples?

Es la figura en la que terminan las trayectorias del sistema de Lorenz: una mariposa de dos alas alrededor de la cual un punto gira para siempre sin repetirse. Muestra cómo tres reglas simples y exactas pueden producir un movimiento que parece aleatorio.

¿Cuáles son las ecuaciones de Lorenz?

dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y y dz/dt = xy − βz. Lorenz usó σ = 10, ρ = 28 y β = 8/3, los valores que producen la mariposa.

¿Por qué se llama efecto mariposa?

Dos trayectorias que empiezan casi juntas terminan muy separadas, así que una diferencia mínima hoy decide el estado de más adelante. El nombre viene de una charla de Lorenz de 1972 titulada "Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?" (¿El aleteo de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas?), y el atractor mismo parece un par de alas.

¿El sistema de Lorenz es aleatorio?

No. Las ecuaciones no tienen nada de azar: el mismo punto de partida siempre da el mismo camino. Es impredecible en la práctica porque cualquier error de medición, por pequeño que sea, crece de forma casi exponencial hasta dominarlo todo.

¿Para qué sirve el atractor de Lorenz?

Nació como un modelo de la convección en la atmósfera. Hoy es el ejemplo clásico para enseñar el caos, un caso de prueba para métodos numéricos y de pronóstico, y un sistema de referencia en la investigación sobre caos sincronizado y asimilación de datos.

Fuente: Lorenz, E. N. (1963). Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130-141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

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