Storia interattiva·6 min di lettura

L’attrattore di Lorenz e l’effetto farfalla

La forma dietro queste parole non è un video. È un universo minuscolo calcolato in diretta nel tuo browser, e seguirà questa storia mentre scorri.

Scorri per iniziare

Capitolo 1

Che cos'è l'attrattore di Lorenz?

L'attrattore di Lorenz è la forma tracciata dal sistema di Lorenz: tre equazioni differenziali accoppiate che il meteorologo Edward Lorenz pubblicò nel 1963 come modello semplificato dell'aria riscaldata dal basso. Con i valori classici $\sigma = 10$ , $\rho = 28$ e $\beta = 8/3$ , ogni traiettoria viene attratta in una regione a forma di farfalla e gira attorno alle sue due ali per sempre, senza mai ripetersi né fermarsi. È l'attrattore strano più noto e l'immagine dietro l'"effetto farfalla".

Ecco le tre equazioni, esattamente come le calcola la scena dietro questo testo:

\begin{aligned} \dot{x} &= \sigma\,(y - x) \\ \dot{y} &= x\,(\rho - z) - y \\ \dot{z} &= x\,y - \beta\,z \end{aligned}

A cosa serve?

È il primo esempio classico di caos. Fisici e matematici lo usano per spiegare perché il meteo non si può prevedere con settimane di anticipo, per mettere alla prova metodi numerici e di previsione, e come sistema di riferimento nella ricerca sul caos sincronizzato e sull'assimilazione dei dati.

Capitolo 2

Il meteo, ridotto a tre numeri

Nel 1963 il meteorologo Edward Lorenz buttò via quasi tutto ciò che chiamiamo meteo. Niente nuvole, niente mappe dei venti, niente coste. Ciò che sopravvisse è un universo di soli tre numeri legati da tre regole semplici: quanto velocemente l'aria si mescola, quanto varia la temperatura al suo interno e come il calore si disperde.

Quello che stai guardando è quell'intero universo che evolve in tempo reale. Ogni curva di luce è il "meteo" che passa da uno stato al successivo.

Capitolo 3

Due tempeste, a un soffio di distanza

È appena apparsa una seconda traiettoria. La tempesta blu parte a 0,0008 di distanza da quella arancione. Stesse regole, stesse equazioni, tutto identico, tranne quel vantaggio microscopico.

Osservale per un momento. All'inizio vanno d'accordo, si seguono come ombre e poi, senza preavviso, si tradiscono completamente. Lorenz lo scoprì per caso: reinserì un numero preso da un tabulato, arrotondato a tre decimali, e la sua simulazione inventò un futuro diverso.

Capitolo 4

Alza il riscaldamento

Il sistema che stai guardando è appena cambiato. Si è mosso un solo numero: il parametro di riscaldamento $\rho$ è salito da 28 a 47. Stesse leggi, più energia.

Una sola manopola, e l'intera personalità dell'universo cambia. Ecco cosa significa la sensibilità: in un sistema caotico, le piccole cause non restano piccole a lungo.

Capitolo 5

Guarda da vicino

Abbiamo ingrandito. Nota due cose che sembrano impossibili insieme. Il percorso non si ripete mai, mai, eppure non lascia mai questa regione a forma di farfalla. È infinitamente lungo, disegnato dentro una scatola finita, e non incrocia mai la propria scia.

Un oggetto così si chiama attrattore strano. "Attrattore" perché le traiettorie ci cadono dentro da quasi ovunque. "Strano" perché da vicino non è una superficie ma una millefoglie di strati infinitamente sottili: un frattale.

Capitolo 6

Deterministico non significa prevedibile

Ogni punto di questo percorso è stato calcolato da regole esatte, senza alcuna casualità. Dato l'oggi, il domani è completamente determinato. Eppure, dopo poco, nessun computer sulla Terra può dirti dove sarà la traiettoria, perché nessuna misura dell'"oggi" è infinitamente precisa.

Quel divario tra due parole che di solito trattiamo come sinonimi, deterministico e prevedibile, è una delle scoperte più profonde del XX secolo. È per questo che le previsioni meteo sono eccellenti a due giorni, decenti a cinque e pura fantasia a quindici.

Capitolo 7

Domande sull'attrattore di Lorenz

Che cos'è l'attrattore di Lorenz, in parole semplici?

È la forma verso cui convergono le traiettorie del sistema di Lorenz: una farfalla a due ali attorno a cui un punto gira per sempre senza ripetersi. Mostra come tre regole semplici ed esatte possano produrre un moto che sembra casuale.

Quali sono le equazioni di Lorenz?

dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y e dz/dt = xy − βz. Lorenz usò σ = 10, ρ = 28 e β = 8/3, i valori che producono la farfalla.

Perché si chiama effetto farfalla?

Due traiettorie che partono quasi insieme finiscono molto lontane, quindi una differenza minima oggi decide lo stato futuro. Il nome viene da una conferenza di Lorenz del 1972 intitolata "Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?" (il battito d'ali di una farfalla in Brasile scatena un tornado in Texas?), e l'attrattore stesso somiglia a un paio d'ali.

Il sistema di Lorenz è casuale?

No. Le equazioni non contengono alcun elemento casuale: lo stesso punto di partenza dà sempre lo stesso percorso. È imprevedibile in pratica perché qualsiasi errore di misura, per quanto piccolo, cresce in modo quasi esponenziale fino a dominare tutto.

A cosa serve l'attrattore di Lorenz?

È nato come modello della convezione nell'atmosfera. Oggi è l'esempio classico per insegnare il caos, un banco di prova per metodi numerici e di previsione, e un sistema di riferimento nella ricerca sul caos sincronizzato e sull'assimilazione dei dati.

Fonte: Lorenz, E. N. (1963). Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130-141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

Lorenz