Histoire interactive·6 min de lecture

L’attracteur de Lorenz et l’effet papillon

La forme derrière ces mots n'est pas une vidéo. C'est un univers miniature calculé en direct dans votre navigateur, et il va suivre cette histoire à mesure que vous faites défiler la page.

Faites défiler pour commencer

Chapitre 1

Qu'est-ce que l'attracteur de Lorenz ?

L'attracteur de Lorenz est la forme que dessine le système de Lorenz : trois équations différentielles couplées que le météorologue Edward Lorenz a publiées en 1963, comme modèle simplifié d'un air chauffé par le bas. Avec les valeurs classiques $\sigma = 10$ , $\rho = 28$ et $\beta = 8/3$ , toute trajectoire est attirée dans une région en forme de papillon et tourne autour de ses deux ailes pour toujours, sans jamais se répéter ni se stabiliser. C'est l'attracteur étrange le plus connu, et l'image derrière « l'effet papillon ».

Voici les trois équations, telles que la scène derrière ce texte les calcule :

\begin{aligned} \dot{x} &= \sigma\,(y - x) \\ \dot{y} &= x\,(\rho - z) - y \\ \dot{z} &= x\,y - \beta\,z \end{aligned}

À quoi sert-il ?

C'est le premier exemple classique du chaos. Physiciens et mathématiciens s'en servent pour expliquer pourquoi la météo ne se prévoit pas à plusieurs semaines, pour tester des méthodes numériques et de prévision, et comme système de référence dans la recherche sur le chaos synchronisé et l'assimilation de données.

Chapitre 2

La météo, réduite à trois nombres

En 1963, le météorologue Edward Lorenz a jeté par-dessus bord presque tout ce que nous appelons la météo. Pas de nuages, pas de cartes des vents, pas de côtes. Ce qui reste, c'est un univers réduit à trois nombres, liés par trois règles simples : la vitesse à laquelle l'air brasse, l'écart de température d'un bout à l'autre et la façon dont la chaleur s'échappe.

Ce que vous regardez, c'est cet univers entier en train d'évoluer en temps réel. Chaque courbe de lumière est la « météo » qui passe d'un état au suivant.

Chapitre 3

Deux tempêtes, à un cheveu près

Une deuxième trajectoire vient d'apparaître. La tempête bleue démarre à 0,0008 de l'orange. Mêmes règles, mêmes équations, tout est identique, sauf cette avance microscopique.

Observez-les un instant. Elles s'accordent, se suivent comme des ombres, puis, sans prévenir, se trahissent complètement. Lorenz l'a découvert par accident : il a ressaisi un nombre lu sur une sortie papier, arrondi à trois décimales, et sa simulation a inventé un autre futur.

Chapitre 4

Montez le chauffage

Le système que vous regardez vient de changer. Un seul nombre a bougé : le paramètre de chauffage $\rho$ est passé de 28 à 47. Mêmes lois, plus d'énergie.

Un seul curseur, et toute la personnalité de l'univers change. Voilà ce que signifie la sensibilité : dans un système chaotique, les petites causes ne restent pas petites longtemps.

Chapitre 5

Regardez de plus près

Nous avons zoomé. Remarquez deux choses qui semblent incompatibles. Le chemin ne se répète jamais, jamais, et pourtant il ne quitte jamais cette région en forme de papillon. Il est infiniment long, dessiné dans une boîte finie, et ne croise jamais sa propre trace.

Un objet comme celui-ci s'appelle un attracteur étrange. « Attracteur » parce que les trajectoires y tombent depuis presque n'importe où. « Étrange » parce que de près, ce n'est pas une surface mais un mille-feuille de couches infiniment fines : une fractale.

Chapitre 6

Déterministe ne veut pas dire prévisible

Chaque point de ce chemin a été calculé à partir de règles exactes, sans aucun hasard. Si l'on connaît le présent, demain est entièrement déterminé. Et pourtant, au bout d'un moment, aucun ordinateur au monde ne peut vous dire où sera la trajectoire, parce qu'aucune mesure du « présent » n'est infiniment précise.

Cet écart entre deux mots que nous traitons d'habitude comme des synonymes, déterministe et prévisible, est l'une des découvertes les plus profondes du XXe siècle. C'est pourquoi les prévisions météo sont excellentes à 2 jours, correctes à 5 jours et du folklore à 15 jours.

Chapitre 7

Questions sur l'attracteur de Lorenz

Qu'est-ce que l'attracteur de Lorenz, en termes simples ?

C'est la forme vers laquelle convergent les trajectoires du système de Lorenz : un papillon à deux ailes autour duquel un point tourne pour toujours sans se répéter. Il montre comment trois règles simples et exactes peuvent produire un mouvement qui semble aléatoire.

Quelles sont les équations de Lorenz ?

dx/dt = σ(y − x), dy/dt = x(ρ − z) − y et dz/dt = xy − βz. Lorenz a utilisé σ = 10, ρ = 28 et β = 8/3, les valeurs qui produisent le papillon.

Pourquoi parle-t-on d'effet papillon ?

Deux trajectoires qui partent presque ensemble finissent très éloignées : un écart minuscule aujourd'hui décide de l'état futur. Le nom vient d'une conférence de Lorenz de 1972 intitulée « Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas? » (le battement d'ailes d'un papillon au Brésil déclenche-t-il une tornade au Texas ?), et l'attracteur lui-même ressemble à une paire d'ailes.

Le système de Lorenz est-il aléatoire ?

Non. Les équations ne contiennent aucun hasard : le même point de départ donne toujours la même trajectoire. Il est imprévisible en pratique parce que toute erreur de mesure, même infime, grandit à peu près exponentiellement jusqu'à tout dominer.

À quoi sert l'attracteur de Lorenz ?

Il est né comme modèle de la convection dans l'atmosphère. Aujourd'hui, c'est l'exemple classique pour enseigner le chaos, un cas test pour les méthodes numériques et de prévision, et un système de référence dans la recherche sur le chaos synchronisé et l'assimilation de données.

Source: Lorenz, E. N. (1963). Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2), 130-141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

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